Đặt ΔABC là ΔABC cân tại A, có \(\hat{BAC}=36^0\) ; BC=1, BD là phân giác của góc ABC
ΔABC cân tại A
=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=\frac{180^0-36^0}{2}=72^0\)
BD là phân giác của góc ABC
=>\(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\frac12\cdot\hat{ABC}=36^0\)
Xét ΔBDC có \(\hat{BDC}+\hat{BCD}+\hat{DBC}=180^0\)
=>\(\hat{BDC}=180^0-36^0-72^0=72^0\)
Xét ΔBDC có \(\hat{BDC}=\hat{BCD}\)
nên ΔBDC cân tại B
=>BD=BC=1
Xét ΔDAB có \(\hat{DAB}=\hat{DBA}\)
nên ΔDAB cân tại D
=>DA=DB=1
Kẻ DH⊥AB tại H
=>H là trung điểm của AB
Đặt AH=HB=x
Xét ΔHAD vuông tại H có cos HAD=\(\frac{AH}{AD}\)
=>\(cos36=\frac{x}{1}=x\)
=>CD=AC-AD=2x-1
Xét ΔBAC có BD là phân giác
nên \(\frac{DC}{DA}=\frac{BC}{BA}\)
=>\(\frac{2x-1}{1}=\frac{1}{2x}\)
=>2x(2x-1)=1
=>\(4x^2-2x-1=0\)
=>\(x^2-\frac12x-\frac14=0\)
=>\(x^2-\frac12x+\frac{1}{16}-\frac{5}{16}=0\)
=>\(\left(x-\frac14\right)^2=\frac{5}{16}\)
=>\(\left[\begin{array}{l}x-\frac14=\frac{\sqrt5}{4}\\ x-\frac14=-\frac{\sqrt5}{4}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt5+1}{4}\left(nhận\right)\\ x=\frac{-\sqrt5+1}{4}\left(loại\right)\end{array}\right.\)
=>\(cos36=\frac{\sqrt5+1}{4}\)
