Question

CMR a^2+b^2 > 2ab hoặc = với mọi a,b. Từ đó suy ra rằng mọi a,b,c thì a^2+b^2+c^2 > hoặc = ab+bc+ca

Answer 1

\(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luon-dung\forall a,b\right)\)

dau"=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

dau"=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Answer 2

\(a^2+b^2\ge2ab\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế của 3 BĐT, ta được:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Answer 3

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\)

CMTT ta được:\(\left\{{}\begin{matrix}b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)