Question

CMR: a không phải là số chính phương thì \(\sqrt{a}\)là số vô tỉ

Answer 1

ĐK: \(a\inℕ\)

Giả sử \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)  \(\left(UCLN\left(m,n\right)=1\right)\)

Khi đó \(a^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\)

Do a là số tự nhiên nên a² là số tự nhiên nên \(m^2⋮n^2\)suy ra  \(m⋮n\)  hay \(UCLN\left(m,n\right)=n\) trái với giả sử \(UCLN\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow\) a là số vô tỉ

Hoặc cách khác:

ĐK: a không phải là số chính phương

Suy ra \(a^2\) là số chính phương. Và:\(\sqrt{a^2}=a\) (là một số tự nhiên)

Mặt khác: \(\sqrt{a}\ne a\)

Do vậy \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ