Question

CM bất đẳng thức :

5) \(a^4+b^4+2\ge4ab\)

6)\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2\ge\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

 

 

Answer 1

5) \(a^4+b^4+2\ge4ab\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge-\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge-2\left(ab-1\right)^2\)(đúng)

Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\)

Answer 2

6) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left(\frac{a+c}{2}+\frac{b+d}{2}\right)^2\ge4\cdot\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Answer 3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả liên quan ta được

\(a^4+1\ge2a^2\)và \(b^4+1\ge2b^2\)

\(\Rightarrow a^{^{ }4}+b^4+2\ge2\left(a^2+b^2\right)\)

Mặt khác \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\)Đpcm

câu con lại tương tự áp dung cauchy là sẽ ra bằng cách dung hệ quả\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)