Question

chứng tỏ với mọi a là số nguyên thì

P=a^3+2a:a^4+3a^2+1

là phân số tối giản

Answer 1

\(P=\frac{a^3+2a}{a^4+3a^2+1}\)

Đặt TS = \(a^3+2a\),  MS = a⁴ + 3a² + 1, \(UCLN\left(TS;MS\right)=d\), ta chứng tỏ d = 1.

Thật vậy: 

Do \(TS⋮d\Rightarrow a.TS⋮d\Rightarrow a\left(a^3+2a\right)⋮d\Rightarrow a^4+2a^2⋮d\)

Vậy thì  \(\left(MS-a.TS\right)⋮d\Rightarrow\left(a^4+3a^2+1-a^4-2a^2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)⋮d\)

\(TS=a\left(a^2+2\right)=a\left(a^2+1+1\right)=\left[a\left(a^2+1\right)+a\right]⋮d\)

Do \(\left(a^2+1\right)⋮d\left(cmt\right);TS⋮d\Rightarrow a⋮d\)

Mà nếu \(a⋮d\Rightarrow a^2⋮d\)

Vậy thì \(\left(a^2+1\right)-a^2=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy phân số trên tối giản.