Gọi d = ƯCLN(12n + 5; 18n + 7)
⇒ (12n + 5) ⋮ d và (18n + 7) ⋮ d
*) (12n + 5) ⋮ d
⇒ 3.(12n + 5) ⋮ d
⇒ (36n + 15) ⋮ d (1)
*) (18n + 7) ⋮ d
⇒ 2(18n + 7) ⋮ d
⇒ (36n + 14) ⋮ d (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(36n + 15 - 36n - 14) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Vậy 12n + 5 và 18n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
gọi d là ƯCLN[12n+5,18n+7]
⇒12n+5⋮d
18n+7⋮d
⇒[12n+5].3⋮d
[18n+7].2⋮d
⇒36n+15⋮d
36n+14⋮d
⇒{[36n+15]-[36n+14]}⋮d
⇒1⋮d
⇒dϵƯ[1]={1}
⇒d=1
⇒ƯCLN[12n+5,18n+7]=1
⇒ 12n+5 và 18n+7 là số nguyên tố cùng nhau
vậy 12n+5 và 18n+7 là số nguyên tố cùng nhau