Question

Chứng minh : \(x=\sqrt[3]{5-\sqrt{17}}+\sqrt[3]{5+\sqrt{17}}\)  là nghiệm của phương trình :

\(x^3-6x-10=0\)

Answer 1

\(x^3=10+3x\sqrt[3]{\left(5-\sqrt{17}\right)\left(5+\sqrt{17}\right)}=10+6x\)

Thay vào -> dpcm

Answer 2

\(x=\sqrt[3]{5-\sqrt{17}}+\sqrt[3]{5+\sqrt{17}}\)

\(\Leftrightarrow x^3=5-\sqrt{17}+5+\sqrt{17}\)

\(+3\left(\sqrt[3]{5-\sqrt{17}}+\sqrt[3]{5+\sqrt{17}}\right)\sqrt[3]{5-\sqrt{17}}\sqrt[3]{5+\sqrt{17}}\)

\(\Leftrightarrow x^3=10+3x\sqrt[3]{\left(5-\sqrt{17}\right)\left(5+\sqrt{17}\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^3=10+3x\sqrt[3]{8}\Leftrightarrow x^3=10+6x\)

\(\Leftrightarrow x^3-6x-10=0\)

\(\Rightarrow\) Đpcm

Chúc bạn học tốt !!!