Ta có (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c)
Lại có : x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz
Thật vậy x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz
<=> 2(x2 +y2 + z2) \(\ge\)2(xy + yz + xz)
<=> (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) + (z2 - 2zx + x2) \(\ge0\)
<=> (x - y)2 + (z - x)2 + (y - z)2 \(\ge0\) (đúng) => ĐPCM
Áp dụng bài toán => (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 \(\ge\)ab.bc + ac.bc + ab.ac = abc(a + b + c)
Khi đó (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c) \(\ge\)abc(a + b + c) + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) (đpcm)
Bạn vào thống kê hỏi đáp của mình xem nhé.
\(( a b + b c + a c ) ^2 ≥ 3 a b c ( a + b + c )\)
Biến đổi tương đương, ta được:
\(<=> ( a b ) ^2 + ( b c ) ^2 + ( a c ) ^2 + 2 a b . b c + 2 b c . a c + 2 a c . a b − 3 a b . a c − 3 a b . b c − 3 a c . b c ≥ 0\)
\(<=> ( a b ) ^2 + ( b c ) ^2 + ( a c ) ^2 − a b . a c − a b . b c − a c . b c ≥ 0\)
\(<=> \frac{1}{2} . [ ( a b ) 2 − 2 a b . b c + ( b c ) 2 ] + \frac{1}{2} . [ ( b c ) 2 − 2 b c . a c + ( a c ) 2 ] + \frac{1}{2} .[ ( a c ) ^2 − 2 a c . a b + ( a b ) ^2 ] ≥ 0\)
\(<=> 1 2 . ( a b − b c ) ^2 + 1 2 . ( b c − a c ) ^2 + 1 2 . ( a c − a b ) ^2 ≥ 0 \)(Luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi: \(a b = b c = a c\)
Ý tưởng của bài toán dựa trên bổ đề phụ:\(( x + y + z ) ^2 ≥ 3 ( x y + y z + x z )\)
Nếu bạn đặt \(a b = x , b c = y , a c = z\)cho bài toán thì sẽ đưa về bổ đề phụ trên
Ta có \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\)\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
Ta cần chứng minh BĐT \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(*)
Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-2ab.ac-2bc.ca-2ca.ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(ab\right)^2-2ab.bc+\left(bc\right)^2\right]+\left[\left(bc\right)^2-2bc.ca+\left(ca\right)^2\right]+\left[\left(ca\right)^2-2ca.ab+\left(ab\right)^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2+\left(ca-ab\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT (*) đc chứng minh hay ta có \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
