Question

Chứng minh rằng:

Nếu (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = (a + b - 2c)² +  (b + c - 2a)² + (c + a - 2b)² thì a = b = c.

Answer 1

Lời giải:

Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$

Khi đó. Điều kiện đề tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z=0$

$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$