Question

chứng minh rằng Với P là một số nguyên tố P>5 thì P mũ 4 -1 chia hết cho 240

 

Answer 1

Ta có:

p⁴ - 1

= (p² - 1).(p² + 1)

 - Do p nguyên tố, p > 5 => p không chia hết cho 3 => p² không chia hết cho 3

=> p² chia 3 dư 1 

=> p² - 1 chia hết cho 3 => p⁴ - 1 chia hết cho 3 (1)

- Do p nguyên tố, p > 5 => p lẻ => p² lẻ

=> p² chia 8 dư 1

=> p² - 1 chia hết cho 8 => p⁴ - 1 chia hết cho 8 (2)

- Do p nguyên tố, p > 5 => p không chia hết cho 5 => p² không chia hết cho 5

=> p² chia 5 dư 1 hoặc 4

+ Nếu p² chia 5 dư 1 => p² - 1 chia hết cho 5 => p⁴ - 1 chia hết cho 5

+ Nếu p² chia 5 dư 4 => p² + 1 chia hết cho 5 => p⁴ - 1 chia hết cho 5 

=> p⁴ - 1 luôn chia hết cho 5 (3)

Từ (1); (2); (3), do 3;5;8 nguyên tố cùng nhau từng đôi một => p⁴ - 1 chia hết cho 120

Mà p² lẻ => p² + 1 chẵn => p² + 1 chia hết cho 2

=> p⁴ - 1 chia hết cho 240

Ủng hộ mk nha ^_-