Question

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta có: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\) ; \(z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Hoặc có thể biến đổi thành BĐT cần CM tương đương:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1

Answer 2

x² + y² + z² + 3 ≥ 2( x + y + z )

<=> x² + y² + z² + 3 ≥ 2x + 2y + 2z

<=> x² + y² + z² + 3 - 2x - 2y - 2z ≥ 0

<=> ( x² - 2x + 1 ) + ( y² - 2y + 1 ) + ( z² - 2z + 1 ) ≥ 0

<=> ( x - 1 )² + ( y - 1 )² + ( z - 1 )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1

Answer 3

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)( bđt này luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-1=0\\z-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)