Chứng minh rằng với mọi số thức không âm ta luôn có:\(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)}\left(\text{Vasilc Cirtoaje}\right)\)
P/s: Trong sách Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng có một lời giải bằng cách biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương cực lạ và em ko hiểu nổi cách phân tích để ra được như thế.
Mong muốn tìm được một lời giải sơ cấp, tự nhiên hơn..
bđt \(\Leftrightarrow\)\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge3a^3b+3b^3c+3c^3a\)
Có: \(a^4+a^2b^2\ge2a^3b\) tương tự với b, c, do đó cần cm: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^3b+b^3c+c^3a\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2b\left(b-a\right)+b^2c\left(c-b\right)+c^2a\left(a-c\right)\ge0\) (1)
Do a,b,c vai trò như nhau nên giả sử \(0\le a\le b\le c\) ta có:
\(c^2a\left(a-c\right)=c.c.a\left(a-c\right)\ge b.a.a\left(a-c\right)=a^2b\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow\)\(VT_{\left(1\right)}\ge a^2b\left(b-a\right)+b^2c\left(c-b\right)+a^2b\left(a-c\right)=a^2b\left(b-a+a-c\right)+b^2c\left(c-b\right)\)
\(=a^2b\left(b-c\right)-b^2c\left(b-c\right)=b\left(b-c\right)\left(a^2-bc\right)\)
Mà \(0\le a\le b\le c\) nên \(\hept{\begin{cases}b-c\le0\\a^2-bc\le0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(VT_{\left(1\right)}\ge b\left(b-c\right)\left(a^2-bc\right)\ge0\)
Phùng Minh Quân vai trò của a,b,c không như nhau nhé
Cả \(c^2a\left(a-c\right)\ge a^2b\left(a-c\right)\) nữa. có a-c<0 nên bị ngược dấu nhé
Không mất tính tổng quát giả sử: \(a\ge b\ge c\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}a=c+x\\b=c+y\end{cases}\left(x,y\ge0\right)}\)
Ta cần chứng minh:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\left(c+x\right)^2+\left(c+y\right)^2+c^2\right)^2-3\left(\left(c+x\right)^3\left(c+y\right)+\left(c+y\right)^3c+c^3\left(c+x\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)c^2+\left(x^3+y^3+4xy^2-5x^2y\right)c+\left(x^4+y^4+2x^2y^2-3x^3y\right)\ge0\)
Xét VT thì ta có:
\(\Delta_c=-3\left(x^3+y^3-x^2y-2xy^2\right)\le0\)
Vậy \(VT\ge0\)vì \(x^2-xy+y^2\ge0\)
Ngồi buff thêm một tí từ lời giải của anh ali:D\(\left(x^2-xy+y^2\right)c^2+\left(x^3+y^3+4xy^2-5x^2y\right)c+\left(x^4+y^4+2x^2y^2-3x^3y\right)\)
\(=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(c+\frac{x^3+y^3+4xy^2-5x^2y}{2\left(x^2-xy+y^2\right)}\right)^2+\frac{3\left(x^3+y^3-x^2y-2xy^2\right)^2}{4\left(x^2-xy+y^2\right)}\)
\(=\frac{\left[2\left(x^2-xy+y^2\right)c+x^3+y^3+4xy^2-5x^2y\right]^2+3\left(x^3+y^3-x^2y-2xy^2\right)^2}{4\left(x^2-xy+y^2\right)}\)
Chú ý: \(x=a-c;y=b-c\) thay vào có thêm một cách biểu diễn khác:D
