a4+b4 -a3b-b3a >_ 0
a3.(a-b) + b3.(b-a) >_ 0
a3.(a+b)-b3 (a-b) >_0 ( đổi dấu )
(a-b)(a3- b3)>_0
(a-b)(a-b)(a2+ab+b2) >_0 (1)
(a-b)2(a2+ab+b2) >_0 ta có a2+ab+b2 = a2+ab+1/4b2 +3/4b2 = (a+1/2b)2+3/4b2 lớn hơn hoặc =0
mà (a-b)2 luôn >_ 0 nên (1) lớn hơn hoặc=0
suy ra điều phải chứng minh. dấu = xảy ra khi a=b=0
Xét hiệu: a4 + b4 - ( a3b + b3a)
= (a4 -a3b) - ( b3a- b4) = a3(a-b) - b3(a-b) = (a-b)(a3 - b3) = (a-b)2(a2 + ab + b2)
= (a-b)2((a + b/2)2 + 3b2/4) \(\ge0\) với mọi a; b.
Vậy a4 + b4 - ( a3b + b3a) \(\ge0\)Hay a4 + b4 \(\ge\) a3b + b3a (ĐPCM)
