Question

chứng minh rằng với mọi số nguyên x;y ta có x⁵y - xy⁵ chia hết cho 30

Answer 1

Ta có: x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x²-y²)(x²+y²)

                                        =xy(x-y)(x+y)(x²+y²)

Ta cần cm bt trên chia hết cho 2,3 và 5

Nếu x,y cùng tính chẵn lẻ thì x-y chẵn=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2   (1)

Nếu x,y không cùng tính chẵn lẻ thi x+y chẵn=>2   (2)

Từ (1) và (2)=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2 với mọi x,y nguyên (13)

Nếu x hoặc y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3  (3)

Nếu x và y chia 3 có cùng số dư thì x-y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 (4)

Nếu x,y chia 3 không cùng số dư thi x+y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3   (5)

Từ (3),(4) và (5)=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 với mọi x,y nguyên  (14)

Nếu x hoặc y chia hết cho 5 thì x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (6)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 2 và ngược lại thì x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (7)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 3 

và ngược lại thì x+y  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (8)

Nếu x chia 5 dư 3, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì 

x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (9)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x+y chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (10)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 3 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (11)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (12)

Từ (6),(7),(8),(9),(10),(11)và (12)

=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5 với mọi x,y nguyên (15)

Từ (13),(14) và (15) Mà (3;4;5)=1

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30 với mọi x,y nguyên

=>đpcm