Question

Chứng minh rằng:  

Với mọi n không chia hết cho 3 thì( n^2-1 )chia hết cho  3

Answer 1

Do \(n⋮̸3\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=3k+1\\n=3k+2\end{cases}\left(k\inℤ\right)}\)

+) Với \(n=3k+1\) thì ta có :

\(n^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=3k\left(3k+2\right)⋮3\)

+) Với \(n=3k+2\) thì ta có :

\(n^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Answer 2

+)Theo bài n\(⋮̸\)3

=>n=3k+1 hoặc n=3k+2

*TH1:n=3k+1

=>n²-1=(3k+1)²-1=(3k+1).(3k+1)-1=9k²+3k+3k+1-1=3.(3k²+k+k)\(⋮\)3

*Th2:n=3k+2

=>n²-1=(3k+2)²-1=(3k+2).(3k+2)-1=9k²+6k+6k+4-1=9k²+6k+6k+3=3.(3k²+2k+2k+1)\(⋮\)3

Vậy với n không chia hết cho 3 thì n²-1 chia hết cho 3

Chúc bn học tốt 

Answer 3

Ta dùng tính chất sau:với mọi nko chia hết 3 thì n^2 chia 3 dư 1

Chúng minh:Ta có Vì n ko chia hết cho 3 nên 

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=3k+1\\n=3k+2\end{cases}}\left(k\inℤ\right)\)

TH1:n=3k+1

\(\Rightarrow n^2=\left(3k+1\right)^2=3k\left(3k+1\right)+\left(3k+1\right)\equiv1\left(mod3\right)\)

TH2:n=3k+1

\(\Rightarrow n^2=\left(3k+2\right)^2=3k\left(3k+2\right)+2\left(3k+2\right)=3k\left(3k+2\right)+2.3k+4\equiv1\left(mod3\right)\)

Suy ra điều phải chứng minh

Áp dụng vào bài trên ta có:Vì n ko chia hết cho 3 nên n^2 chia 3 dư 1 

Suy ra n^2-1 chia hết cho 3

Cách này lớp 8 nha:Dùng định lý Fermat nhỏ

Ta có:Theo định lý Fermat nhỏ thì \(n^{p-1}-1⋮p\)với p là số nguyên tố,n là số nguyên và (n,p)=1

Thay p=3 thì ta có:\(n^{3-1}-1⋮3\Rightarrow n^2-1⋮3\)

Mà n và 3 thỏa mãn định lý là (n,3)=1

Suy ra điều phải chứng minh