Question

CHỨNG MINH RẰNG VỚI MỌI a,b TA CÓ :\(^{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\)LỚN HƠN HOẶC BẰNG \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Answer 1

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\)(\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\)).\(\frac{1}{3}\ge\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}.\frac{1}{3}=\)\(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Answer 2

            Bài làm :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\right).\frac{1}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}.\frac{1}{3}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Answer 3

Sử dụng BĐT 3 biến đối xứng ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c

CM BĐT 3 biến: \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}}\left(Cauchy\right)\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

=> đpcm