Ta có:
\(10^{2025}=10^{3^4.5^2}=\left(10^{81}\right)^{25}\)
\(10\equiv10\left(mod18\right)\)
\(10^8\equiv10\left(mod18\right)\)
\(10^{80}\equiv\left(10^8\right)^{10}\left(mod18\right)\equiv10^{10}\left(mod18\right)\equiv10\left(mod18\right)\)
\(10^{81}\equiv10^{80}.10\left(mod18\right)\equiv10.10\left(mod18\right)\equiv10\left(mod18\right)\)
\(10^{24}\equiv\left(10^8\right)^3\left(mod18\right)\equiv10^3\left(mod18\right)\equiv10\left(mod18\right)\)
\(10^{25}\equiv10^{24}.10\left(mod18\right)\equiv10\left(mod18\right)\)
\(10^{2025}\equiv\left(10^{81}\right)^{25}\left(mod18\right)\equiv10^{25}\left(mod18\right)\equiv10\left(mod18\right)\)
\(\Rightarrow10^{2025}+8\equiv10+8\left(mod18\right)\equiv0\left(mod18\right)\)
Vậy \(\left(10^{2025}+8\right)⋮18\)
Số chia hết cho 2 khi chữ số cuối của nó là số chẵn. Ta xét chữ số cuối của 102025+810^{2025} + 8.
Chữ số cuối của 10202510^{2025} là 0, vì 10n10^n luôn có chữ số cuối là 0 với mọi n≥1n \geq 1. Chữ số cuối của 88 là 8, là một số chẵn.Do đó, chữ số cuối của 102025+810^{2025} + 8 là 0+8=80 + 8 = 8, là một số chẵn. Vậy, 102025+810^{2025} + 8 chia hết cho 2.
Bước 2: Kiểm tra tính chia hết cho 9Số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Ta sẽ xét tổng các chữ số của 102025+810^{2025} + 8.
10202510^{2025} có dạng 1000…01000\ldots 0 với 2025 chữ số 0, vì vậy tổng các chữ số của 10202510^{2025} là 1 (chữ số đầu tiên là 1, các chữ số còn lại đều là 0). 88 có tổng các chữ số là 8.Vậy, tổng các chữ số của 102025+810^{2025} + 8 là 1+8=91 + 8 = 9, và 9 chia hết cho 9. Do đó, 102025+810^{2025} + 8 chia hết cho 9.
Bước 3: Kết luậnVì 102025+810^{2025} + 8 chia hết cho cả 2 và 9, nên nó chia hết cho 18.
Vậy, ta đã chứng minh rằng 102025+810^{2025} + 8 chia hết cho 18.
