Question

Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

\(\frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a}=\frac{b}{x-a}+\frac{a}{x-b}\) (a, b là hằng, \(a\ne0,b\ne0,a\pm b\ne0\))

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ne a,x\ne b\). Biến đổi phương trình:

\(\frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a}=\frac{b}{x-a}+\frac{a}{x-b}\Leftrightarrow\frac{a\left(x-a\right)+b\left(x-b\right)}{ab}=\frac{b\left(x-b\right)+a\left(x-a\right)}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left[a\left(x-a\right)+b\left(x-b\right)\right].\left[\frac{1}{ab}-\frac{1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}\right]=0\)

Giải \(a\left(x-a\right)+b\left(x-b\right)=0\) được \(x=\frac{a^2+b^2}{a+b}\)( thỏa mãn ĐKXĐ)

Giải \(ab=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\) được \(x=0\) và \(x=a+b\) ( thỏa mãn ĐKXĐ)

Nhận thấy \(0,a+b,\frac{a^2+b^2}{a+b}\) là 3 nghiệm phân biệt.