Ta có: \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}=\frac{5n+2}{6n^2+5n+1}\)
Giả sử d là ước chung lớn nhất của \(\left(5n+2\right);\left(6n^2+5n+1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6.\left(5n+2\right)^2⋮d\\25.\left(6n^2+5n+1\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow25\left(6n^2+5n+1\right)-6\left(5n+2\right)^2⋮d\)
\(\Rightarrow5n+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(5n+2\right)-\left(5n+1\right)=1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản
Gọi d = (5n + 3 ; 3n + 2) (d thuộc N)
=> (5n + 3) chia hết cho d và (3n + 2) chia hết cho d
=> 5.(3n + 2) - 3.(5n + 3) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1 (vì d thuộc N)
=> ƯCLN(5n + 3 ; 3n + 2) = 1
=> Phân số 5n+3/3n+2 tối giản với mọi n thuộc N
Gọi ƯCLN (5n+2,3n+1) = d
Suy ra \(\hept{\begin{cases}3n+1⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(3n+1\right)⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+2⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(6n+2\right)-\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow n⋮d\Rightarrow3n⋮d\)
Mà \(3n+1⋮d\)\(\Rightarrow\left(3n+1\right)-3n⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Suy ra ƯCLN (5n+2, 3n+1) = 1
Gọi ƯCLN (5n+2,2n+1) = k
Suy ra \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮k\\5n+2⋮k\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+1\right)⋮k\\5n+2⋮k\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+2⋮k\\5n+2⋮k\end{cases}}\Rightarrow\left(5n+2\right)-\left(4n+2\right)⋮k\Rightarrow n⋮k\Rightarrow2n⋮k\)
Mà \(2n+1⋮k\Rightarrow\left(2n+1\right)-2n⋮k\Rightarrow1⋮k\Rightarrow k=1\)
Suy ra ƯCLN (5n+2,2n+1)= 1
Do đó : phân số\(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản
Giả sử phân số \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)chưa tối giản.
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+2⋮a\\\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)-5n+2⋮a\)
\(\Leftrightarrow\left(6n+2\right)-\left(5n+2\right)⋮a\)
\(\Leftrightarrow6n+2-5n-2⋮a\)
\(\Leftrightarrow1n⋮a\)
\(\Rightarrow a=1\)
