Question

 

 Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

 

Answer 1

 

giả sử có tam giác ABC và 2 đường trung tuyến CN và BM cắt nhau tại G, ta chứng minh AB=AC

xét 2 tam giác: NBG và MCG có: 

góc NGB = góc MGC ( vì 2 góc đối đỉnh )        (1)

vì BM, CN là trung tuyến      (gt)

=> BG = 2/3 BM, CG = 2/3 CN

mà BM = CN (gt)    => BG = CG                    (2)

=> NG = 1/3 NC, MG = 1/3 MB

=> NG = MG                                                 (3)

từ (1) , (2), (3)   => tam giác NGB = tam giác MGC (c.g.c)

=> NB = MC  (2 cạnh tương ứng)

=> AB = AC   (vì NB = 1/2 AB, MC = 1/2 AC)

=> tam giác ABC cân tại A ( đpcm)

 

Answer 2

Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BD và CE bằng nhau.

Gọi I là giao điểm BD và CE, ta có:

BI = 2/3 BD (tính chất đường trung tuyến) (1)

CI = 2/3 CE (tính chất đường trung tuyến) (2)

Từ (1), (2) và giả thiết BD = CE suy ra: BI = CI

Suy ra: BI + ID = CI + IE ⇒ ID = IE

Xét ΔBIE và ΔCID, ta có:

BI = CI (chứng minh trên)

∠(BIE) = ∠(CID) (đối đỉnh)

IE = ID (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBIE = ΔCID (c.g.c)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (3)

Lại có: BE = 1/2 AB (vì E là trung điểm AB) (4)

CD = 1/2 AC (vì D trung điểm AB) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: AB = CD.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Answer 3

2, kb vs mik  ik

Answer 4

Lời giải:

Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

⇒ G là trọng tâm của tam giác

Mà BM = CN (theo gt) ⇒ GB = GC ⇒ GM = GN.

Xét ΔGNB và ΔGMC có :

GN = GM (cmt)

GB = GC (cmt)

⇒ ΔGNB = ΔGMC (c.g.c) ⇒ NB = MC.

Lại có AB = 2.BN, AC = 2.CM (do M, N là trung điểm AC, AB)

⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A.