Question

Chứng minh rằng nếu \(M\)là giao điểm của các đường chéo của tứ giác \(ABCD\)thì \(MA+MB+MC\)nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chi vi tứ giác

Answer 1

Đề là MA + MB + MC + MD nha bạn!

Ta có: chu vi tứ giác = AB + BC + DC + AD
Theo bất đẳng thức tam giác:
MA + MB > AB
MB + MC > BC
MC + MD > DC
MD + MA > AD
=> MA + MB + MB + MC + MC + MD + MD + MA  > AB + BC + DC + AD
=> 2MA + 2MB + 2MC + 2MD > AB + BC + DC + AD
=> 2(MA + MB + MC + MD) > AB + BC + DC + AD
=> MA + MB + MC + MD > \(\frac{1}{2}\)(AB + BC + DC + AD) (1)
Ta có MA + MB + MC + MD = AC + BD
Mà AC < AB + BC
      AC < AD + DC
=> 2AC < AB + BC + DC + AD
Tương tự với BD
=> 2BD < AB + BC + DC + AD
=> 2AC + 2BD < 2(AB + BC + DC + AD)
=> 2(AC + BD) < 2(AB + BC + DC + AD)
=> AC + BD > AB + BC + DC + AD (2)
Từ (1) và (2) => đpcm