2n+1 là số chính phương
mà 2n+1 lẻ
nên \(2n+1=\left(2k+1\right)^2\)
=>\(2n+1=4k^2+4k+1\)
=>\(2n=4k^2+4k\)
=>\(n=2k^2+2k=2k\left(k+1\right)\)
Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp
nên k(k+1)⋮2
=>2k(k+1)⋮4
=>n⋮4
=>3n+1 lẻ
mà 3n+1 là số chính phương
nên \(3n+1=\left(2a+1\right)^2\)
=>\(3n+1=4a^2+4a+1\)
=>\(3n=4a^2+4a=4a\left(a+1\right)\)
Vì a;a+1 là hai số nguyên liên tiếp
nên a(a+1)⋮2
=>4a(a+1)⋮4*2
=>3n⋮8
=>n⋮8
Vì 3n+1 là số chính phương lẻ
nên 3n+1 sẽ có tận cùng là 1;5;9
=>3n sẽ có tận cùng là 0;4;8
=>n sẽ có tận cùng là 0;8;6
Nếu n có tận cùng là 6 thì 2n sẽ có tận cùng là 2
=>2n+1 sẽ có tận cùng là 3
mà 2n+1 là số chính phương lẻ
nên điều này là không thể xảy ra
Nếu n có tận cùng là 8 thì 2n sẽ có tận cùng là 6
=>2n+1 sẽ có tận cùng là 7
mà 2n+1 là số chính phương lẻ
nên điều này là không thể xảy ra
=>n sẽ chỉ có thể có tận cùng là 0
=>n⋮10
mà n⋮8
nên n∈BC(8;10)
=>n⋮40
