Ta sẽ chứng minh \(\Delta ABC\)vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC thì \(AM=\frac{1}{2}BC\)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MA=MN
Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta NCM\)có:
\(MB=MC\)(giả thiết)
\(\widehat{AMB}=\widehat{NMC}\)(hai góc đối đỉnh)
\(MA=MN\)(theo cách vẽ).
Do đó \(\Delta ABM=\Delta NCM\left(c-g-c\right)\)
Suy ra \(AB=NC\)(hai cạnh tương ứng)
và \(\widehat{ABM}=\widehat{NCM}\)(hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow AB\)song song với \(NC\)(có cặp góc ở vị trí sole trong bằng nhau \(\widehat{ABM}=\widehat{NCM}\))
Mà \(AB⊥AC\Rightarrow NC⊥AC\)
Xét \(\Delta BAC\)và \(\Delta NCA\)có:
\(BA=NC\)(chứng minh trên)
\(\widehat{BAC}=\widehat{NCA}=90^0\left(AB⊥AC;NC⊥AC\right)\)
\(AC:\)cạnh chung
Do đó \(\Delta BAC=\Delta NCA\left(c-g-c\right)\)
Suy ra \(BC=NA\)(hai cạnh tương ứng)
Mà \(AM=\frac{1}{2}AN\)(theo cách vẽ)
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\left(đpcm\right)\)
Tam giác vuông ABC vuông tại A,có AM là trung tuyến
Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA=MD
Do đó \(AM=\frac{1}{2}AD\)(1)
→Tứ giác ABDC là hình bình hành,có A=90
→ABDC là hình chữ nhật
→→AD=BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM=\frac{1}{2}BC\)
Vậy trong một tam giác vuông,đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
bài làm tham khảo : https://diendantoanhoc.net/topic/133641-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-trong-1-tam-gi%C3%A1c-vu%C3%B4ng-trung-tuy%E1%BA%BFn-%E1%BB%A9ng-v%E1%BB%9Bi-c%E1%BA%A1nh-huy%E1%BB%81n-12-c%E1%BA%A1nh-huy%E1%BB%81n/
