Câu hỏi của Nguyễn Huy Trường Lưu

Question

Chứng minh rằng $\dfrac{3}{1^2+2^2}+\dfrac{5}{2^2+3^2}+...+\dfrac{19}{9^2+10^2}$ < 1.

Nguyễn Đức Trí · Accepted Answer

$A=\dfrac{3}{1^2+2^2}+\dfrac{5}{2^2+3^2}+...+\dfrac{19}{9^2+10^2}$ (sửa $1^22^2$ thành $1^2+2^2$)

Ta có : $\left(1+2\right)^2=1^2+2^2+2.1.2\Rightarrow1^2+2^2< \left(1+2\right)^2$

$\Rightarrow1^2+2^2< 3^2=3.3$

$\Rightarrow\dfrac{3}{1^2+2^2}< \dfrac{1}{3}< 1$

Tương tự $\dfrac{5}{2^2+3^2}< \dfrac{1}{5}< 1$

$.....$

$\dfrac{9}{9^2+10^2}< \dfrac{1}{19}< 1$

$\Rightarrow A=\dfrac{3}{1^2+2^2}+\dfrac{5}{2^2+3^2}+...+\dfrac{19}{9^2+10^2}< 1.9=9< 1$

$\Rightarrow dpcm$Câu trả lời: $A=\dfrac{3}{1^2+2^2}+\dfrac{5}{2^2+3^2}+...+\dfrac{19}{9^2+10^2}$ (sửa $1^22^2$ thành $1^2+2^2$)