Giả sử \(\sqrt3\) là số hữu tỉ
=>\(\sqrt3=\frac{a}{b}\) , ƯCLN(a;b)=1
=>\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=3\)
=>\(a^2=3b^2\)
=>\(a^2\) ⋮3
=>a⋮3
=>a=3k
\(3b^2=a^2=\left(3k\right)^2=9k^2\)
=>\(b^2=3k^2\) ⋮3
=>b⋮3
=>ƯCLN(a;b)=3<>1, sai với giả thiết ban đầu
=>\(\sqrt3\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt2\) là số hữu tỉ
=>\(\sqrt2=\frac{a}{b}\) , ƯCLN(a;b)=1
=>\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=2\)
=>\(a^2=2b^2\)
=>\(a^2\) ⋮2
=>a⋮2
=>a=2k
\(2b^2=a^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)
=>\(b^2=2k^2\) ⋮2
=>b⋮2
=>ƯCLN(a;b)=2<>1, sai với giả thiết ban đầu
=>\(\sqrt2\) là số vô tỉ
\(\sqrt{2+\sqrt3}\)
\(=\frac{\sqrt{4+2\sqrt3}}{\sqrt2}\)
\(=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\)
mà \(\sqrt3;\sqrt2\) là các số vô tỉ
nên \(\sqrt{2+\sqrt3}\) là số vô tỉ
