Question

Chứng minh rằng a=b=c nếu có một trong các trường hợp sau:

a) a²⁺b²+c² = ab+bc+ca

b) (a+b+c)² = 3(a²+b²+c²⁾

c) (a+b+c)² = 3(ab+bc+ca)

Ai giúp e vs , e cần gấp lắm ạ

Answer 1

Với mọi a,b,c ta đều có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0.\)Dấu "=" chỉ xảy ra khi a = b = c.

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)(1)

a) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow a=b=c\)đpcm (a)

b) \(\left(1\right)\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2ba+2ac=\left(a+b+c\right)^2\)

nên \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a=b=c\)đpcm (b)

c) Từ \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

nên \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a=b=c\)đpcm (c).

Answer 2

Trừ VT cho VP rồi khai triển về dạng hđt là OK