Question

Chứng minh rằng \(A=1^3+2^3+3^3+...+100^3\) chia hết cho \(B=1+2+3+...+100\)

Answer 1

Ta có \(B=\dfrac{100.101}{2}\)

Ta có \(A=\left(1^3+100^3\right)+\left(2^3+99^3\right)+...+\left(50^3+51^3\right)=\left(1+100\right).A_1+\left(2+99\right).A_2+...+\left(50+51\right).A_{50}=101\left(A_1+A_2+...+A_{50}\right)⋮101\)Lại có \(A=\left(1^3+99^3\right)+\left(2^3+98^3\right)+...+\left(49^3+51^3\right)+50^3+100^3=\left(1+99\right).A_1+\left(2+98\right).A_2+...+\left(49+51\right).A_{49}+50^3+100^3=100.\left(A_1+A_2+...+A_{49}\right)+50^3+100^3⋮100\)

(Ở đây mình đặt A1, A2, ... A50 để bài toán gọn hơn nhá)

Mà UCLN(100,101) = 1 => \(A⋮100.101=2.B\)

Do đó, ta có \(A⋮B\) (đpcm)