a) Ta có:
\( A = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \)
Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét tổng S = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 5).
Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 5, \( 5^2 \) chia hết cho 5, \( 5^3 \) chia hết cho 5, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).
Vì vậy, ta có: \( S \equiv 0+0+0+\ldots+0 \equiv 0 \) (mod 5).
Do đó, A chia hết cho 5.
Để chứng minh A không chia hết cho 25, ta xét tổng T = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 25).
Ta thấy rằng \( 5 \) không chia hết cho 25, \( 5^2 \) không chia hết cho 25, \( 5^3 \) không chia hết cho 25, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).
Vì vậy, ta có: \( T \equiv 5+0+0+\ldots+0 \equiv 5 \) (mod 25).
Do đó, A không chia hết cho 25.
b) Ta có:
\( B = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \)
Để chứng minh B chia hết cho 6, ta xét tổng U = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \) (mod 6).
Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{20} \).
Vì vậy, ta có: \( U \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 5 \) (mod 6).
Do đó, B chia hết cho 6.
c) Ta có:
\( C = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \)
Để chứng minh C không chia hết cho 6, ta xét tổng V = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \) (mod 6).
Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{2022} \) và \( 5^{2023} \).
Vì vậy, ta có: \( V \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 2 \) (mod 6).
Do đó, C không chia hết cho 6.
d) Ta có:
\( D = 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \)
Để chứng minh D chia hết cho 7, ta xét tổng W = \( 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \) (mod 7).
Ta thấy rằng \( 2 \) không chia hết cho 7, \( 2^2 \) chia hết cho 7, \( 2^3 \) không chia hết cho 7, \( 2^4 \) không chia hết cho 7, \( 2^5 \) không chia hết cho 7, \( 2^6 \) chia hết cho 7, và tiếp tục
mong mn cho minh vai xu :)))))))))))))))))))))))))))))))))
a, A = 5 + 52 + 53 + ... + 5100
A = 5. ( 1 + 5 + ...+ 599)
5 ⋮ 5 ⇒A = 5.(1 + 5 + ...+ 599) ⋮ 5 (1)
A = 5 + 52 + 53 + ... + 5100
A = 5 + 52.( 1 + 5 + 52 + ... + 598)
A = 5 + 25 . ( 1 + 5 + 52 +...+ 598)
Vì 25 ⋮ 25 nên 25.(1 + 5 + 52 +... + 598) ⋮ 25
5 không chia hết cho 25 nên
A = 5 + 25.( 1 + 5 +...+ 598) không chia hết cho 25 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
A ⋮ 5 nhưng không chia hết cho 25 (đpcm)
b, B = 5 + 52 + 53 + ... + 520
Xét dãy số: 1; 2; 3; ...; 20 Dãy số này có 20 số hạng nên A có 20 số hạng. Nhóm 2 số hạng liên tiếp của A thành 1 nhóm vì 20 : 2 = 10 nên
B = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +...+ (519 + 520)
B = 5.(1 + 5) + 53.(1 + 5) +...+ 519. (1 + 5)
B = 5.6 + 53.6 +...+ 519. 6
B = 6.(5 + 53 +...+ 519)
Vì 6 ⋮ 6 nên 6.(5 + 53 + ... + 519) ⋮ 6 hay B = 5 + 52+...+520⋮6(đpcm)
c, C = 5 + 52 + 53 +...+ 52022 + 52023
Xét dãy số: 1; 2; 3; ...;2023 dãy số này có 2023 số hạng vậy C có 2023 hạng tử. Nhóm 2 hạng tử liên tiếp của A thành một nhóm, vì
2023 : 2 = 1011 dư 1 nên
C = 5 + (52 + 53) + ... + (52022 + 52023)
C = 5 + 52.( 1 + 5) +...+ 52022.(1 + 5)
C = 5 + 52.6 + ...+ 52022.6
C = 5 + 6.(52 +...+ 52022)
Vì 6 ⋮ 6 nên 6.(52 + ... + 52022) ⋮ 6
5 không chia hết cho 6 nên C không chia hết cho 6(đpcm)
D = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22021
D = 20 + 21 + 22 + ... + 22021
Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 2021 dãy số này có số số hạng là:
(2021 - 0) : 1 + 1 = 2022 (số hạng)
Vậy D có 2022 hạng tử. Nhóm 3 hạng tử liên tiếp của D thành 1 nhóm, vì 2022 : 3 = 674
Vậy D = (1 + 2 + 22) + ... + (22019 + 22020 + 22021)
D = 7 + ... + 22019.( 1 + 2 + 22)
D = 7 +... + 22019 .7
D = 7.(1 + ... + 22019)
Vì 7 ⋮ 7 nên 7.(1 + ...+ 22019) ⋮ 7
Vậy D ⋮ 7 (đpcm)
