Question

chứng minh \(^{n^5}\)- n chia hết cko 30

Answer 1

Ta có:

n⁵ - n = n.(n⁴ - 1)

         = n.(n² - 1).(n² + 1)

         = n.(n - 1).(n + 1).(n² + 1)

+ Do n.(n - 1).(n + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 6 => n.(n - 1).(n + 1).(n² + 1) chia hết cho 6

=> n⁵ - n chia hết cho 6 (1)

+ Nếu n² chia 5 dư 0 => n chia hết cho 5 => n.(n² - 1).(n² + 1) chia hết cho 5 => n⁵ - n chia hết cho 5

+ Nếu n² chia 5 dư 1 => n² - 1 chia hết cho 5 => n.(n² - 1).(n² + 1) chia hết cho 5 => n⁵ - n chia hết cho 5

+ Nếu n² chia 5 dư 1 => n² + 1 chia hết cho 5 =>n.(n² - 1).(n² + 1) chia hết cho 5 => n⁵ - n chia hết cho 5

=> n⁵ - n luôn chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2), do (6;5)=1 => n⁵ - n chia hết cho 30 (đpcm)

Answer 2

Ta có:

n⁵ - n = n.(n⁴ - 1)

         = n.(n² - 1).(n² + 1)

         = n.(n - 1).(n + 1).(n² + 1)

+ Do n.(n - 1).(n + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 6 => n.(n - 1).(n + 1).(n² + 1) chia hết cho 6

=> n⁵ - n chia hết cho 6 (1)

+ Nếu n² chia 5 dư 0 => n chia hết cho 5 => n.(n² - 1).(n² + 1) chia hết cho 5 => n⁵ - n chia hết cho 5

+ Nếu n² chia 5 dư 1 => n² - 1 chia hết cho 5 => n.(n² - 1).(n² + 1) chia hết cho 5 => n⁵ - n chia hết cho 5

+ Nếu n² chia 5 dư 1 => n² + 1 chia hết cho 5 =>n.(n² - 1).(n² + 1) chia hết cho 5 => n⁵ - n chia hết cho 5

=> n⁵ - n luôn chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2), do (6;5)=1 => n⁵ - n chia hết cho 30 (đpcm)