Question

Chứng minh : n² + 7n + 2014 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Answer 1

Chứng minh bằng phản chứng : 

Giả sử rằng tồn tại ít nhất một số tự nhiên n sao cho thỏa mãn \(n^2+7n+2014\) chia hết cho 9

Khi đó đặt n = 9k (k thuộc N)
 

Ta có \(n^2+7n+2014=\left(9k\right)^2+7.\left(9k\right)+2014=9.\left(9k^2+7k+223\right)+7\)

Từ đó ta thấy ngay điều giả sử sai, suy ra đpcm.

Answer 2

Ta có

A = n² + 7n + 2014 = (n + 2)(n + 5) + 2004

Giả sử A chia hết cho 9 thì A = 9k 

=> (n + 2)(n + 5) + 2004 = 9k (k tự nhiên)

Ta thấy 2004 chia hết cho 3 nên (n + 2)(n + 5) chia hết cho 3. Vậy 1 trong hai thừa số phải chia hết cho 3

Mà n + 5 - n - 2 = 3 chia hết cho 3 nên cả (n + 5) và (n + 2) đều chia hết cho 3.

Hay (n + 5)(n + 2) chia hết cho 9.

Mà A lại chia hết cho 9 nên 2004 chia hết cho 9 (vô lý)

Vậy không tồn tại số tự nhiên nào để A chia hết cho 9