b.
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-8abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+b^2a+bc^2-6abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(c^2-2ca+a^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
Ối chết,thiếu :v. Chứng minh hai biểu thức trên \(\ge0\) nha!
Thanks zZz Cool Kid zZz best toán :v đã nhắc nhở!
\(\left(a+b+c\right)^3-27abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2+c^3\ge27abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2+c^3\ge27abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge27abc\)
<=> \(\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+3\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)-8abc\right]\ge0\)luôn đúng với mọi a,b,c dương
Vì: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)đúng vs mọi a, b, c dương
\(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)-8abc\ge0,theob\)
"=" xảy ra <=> a=b=c
Em nghĩ cách sau đây còn đẹp hơn nữa! Vừa đăng câu trả lời hồi nãy thì bị lỗi Please Signing tức dễ sợ=(
Biến đổi P trở thành: \(P=\frac{7a+b+c}{2}\left(b-c\right)^2+\frac{7b+c+a}{2}\left(c-a\right)^2+\frac{7c+a+b}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\)
BĐT này đúng với mọi a,b,c dương nên ta có Q.E.D
Dấu "=" xảy ra khi a =b =c
Cách khác cho câu b.
Áp dụng BĐT phụ:\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Áp dụng vào bài toán,ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
Nhân vế theo vế ta có ĐPCM(dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\))
Có một kiểu khác!
\(P=\frac{9}{4}a\left(a+c-2b\right)^2+\frac{27}{4}a\left(c-a\right)^2+\left(b+c-2a\right)^3\ge0\)
với a =min { a , b , c }
