Question

chứng minh  các bất phương trình

\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(B=\left(\frac{a+b}{c}\right)+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\left(a,b,c>0\right)\)

Answer 1

\(B=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

\(B=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Ta cần CM \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Áp dụng BĐT Cô-si:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Tương tự,ta cũng có:\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)

\(\Rightarrow B\ge2+2+2=6\left(đpcm\right)\)

(*) t chỉ ms lớp 7 thôi nên cũng ko chắc đúng ko nhé!

Answer 2

Tách ra rồi áp dụng BĐT Côsi là ra ngay mà bạn!

Answer 3

\(A=\left(a+b\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\left(a+b\right).\left(\frac{a+b}{ab}\right)=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\)

\(A\ge4\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge4\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\)

Ta có: (1) đúng => BĐT đúng => BPT đúng (đpcm)

Answer 4

Cho hình thang ABCD (AB//CD) và AB<CD. Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC. Vẽ đường cao BH.Cho BC=15,DC=25. Tính diện tích hình thang ABCD