3/ \(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (đúng)
bài 1
theo bài ra ta có
a + b + c = 0 => c = -[a+b] [ 1 ]
Thay (1) vao a^3+b^3+c^3 ta có:
a^3+b^3+[-(a+b)]^3=3ab[-(a+b)]
<=>a^3+b^3-(a+b)=-3ab(a+b)
<=> a3+ b3- a3 -3a2b- 3ab2- b3= -3a2b- 3ab2
<=> 0= 0
vậy ta có đpcm.
Bài 1/
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\) (đúng vì \(a+b+c=0\))
2/ \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=0\)
Câu 2 sao anh ali lại ghi <0 nhỉ? vì độ 3 cạnh tam giác luôn lớn hơn 0.thế thì biểu thức trên luôn lớn hơn 0 chứ nhỉ?
Bổ đề: Với x,y > 0 thì: \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+y+m}{x+y+m}\)
*Chứng minh: \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+y}{x+y}=1\).Mà \(\frac{x+y+m}{x+y+m}=1\Rightarrow\frac{x+y+m}{x+y+m}>\frac{x}{x+y}\)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng vào,ta có:
\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\); \(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
Do đó: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2^{\left(đpcm\right)}\)
tth Có bổ đề nào thế không nhỉ?
Ta chứng minh bài toán phụ:
Với x,y,n>0 ; x<y thì \(\frac{x}{y}< \frac{x+n}{y+n}\)
Ta có: \(x< y\)
\(\Rightarrow xn< yn\)
\(\Rightarrow xn+xy< yn+xy\)
\(x\left(y+n\right)< y\left(x+n\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}< \frac{x+n}{y+n}\)
đpcm
Áp dụng:
Ta có: a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\b+c>a\end{cases}}\)( BĐT tam giác )
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{b+c+a}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{b+c+a}=\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{b+c+a}=\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế của các BĐT ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(a+b+c\ne0\right)\)
đpcm
Ali ghi nhầm đấy
Câu 2 thay số 0 bằng số 2 . Chắc đánh máy láu nên nhầm :)
Bài 1 của idol alibaba nguyễn làm hơi tắt.
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)
\(a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
đpcm
@kudo: Chậc, lúc đó em viết nhầm bổ đề cmnr:v Xem lại thời xưa thấy vui quá à!
