\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+b^2+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall a;b\))
Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)
#Chuyên mục: Giải trí cùng BĐT
1/ Chứng minh BĐT sau với a, b, c không âm.
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+bc\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+ca\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)
Tuần sau sẽ là hai bài và bài khó hơn tuần này nha mọi người! Do hôm nay bắt đầu tập trung vô lớp để ổn định chuẩn bị cho năm học mới nên mình khá bận.
1. chứng minh bđt
a. \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
b.\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\forall a,b>0\)
c.\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)
Mạnh hơn BĐT Nesbitt:
Chứng minh:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\frac{\left[\Sigma_{cyc}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right]\left(a-b\right)^2}{2\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left[\left(b+a\right)\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\left(a+b\right)\right]}\)
Với a, b, c > 0
Chứng minh bđt:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ge\frac{9}{2}\forall a,b,c>0\)
Chứng minh rằng;
1) \(a^5+b^5\ge ab\left(a^3+b^3\right)\) 2)\(a^{n+2}+b^{n+2}\ge ab\left(a^n+b^n\right)\)
mọi người ơi, giúp mình với, mình cần trước t2 mình cản ơn!
Cho a,b,c > 0. Chứng minh:
\(\Sigma a^2\left(a^2+2b^2\right)\ge\Sigma ab\left(a^2+b^2+ac\right)+\sqrt{\frac{2}{3}}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
PS: Mình nghĩ bài này đúng với mọi số thực a,b,c. Ai có thể chứng minh?
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Chứng minh:
\(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2\ge a^3+b^3+c^3\)
Cảm ơn nhiều nhan
Mạnh hơn BĐT Schur
Cho a,b,c là các số thực không âm,chứng minh rằng:
\(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\)
Ở đây chúng tôi không SOS hay ST s o s cái gì hết :P
chứng minh bấ đẳng thức sau :
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
