vào đường link này nè bạn!
45-cach-chung-minh-bdt-nesbitt.pdf
https://trungtuan.files.wordpress.com/2011/01/45-cach-chung-minh-bdt-nesbitt.pdf
Vào đây nè.
https://trungtuan.files.wordpress.com/2011/01/45-cach-chung-minh-bdt-nesbitt.pdf
Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh. Dưới đây trình bày 2 cách.
Cách thứ nhất[sửa | sửa mã nguồn]Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903)
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
Biến đổi vế trái:
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}.}
Thêm một bước biến đổi:
{\displaystyle [(a+b)+(a+c)+(b+c)]\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.}Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương)![{\displaystyle [(a+b)+(a+c)+(b+c)]\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a724b1b08463722fee4d5a81f895a1b469ae0c76)
Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:
{\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.}
Vế trái là trung bình cộng, vế phải là trung bình điều hoà, do vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng mính.
(Ta cũng có thể sử dụng trung bình nhân của ba biến để chứng minh).
Cách thứ hai[sửa | sửa mã nguồn]Không mất tính tổng quát, giả sử {\displaystyle a\geq b\geq c}, ta có:
{\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}}
Đặt:
{\displaystyle {\vec {x}}=(a,b,c)}{\displaystyle {\vec {y}}=({\frac {1}{b+c}},{\frac {1}{a+c}},{\frac {1}{a+b}})}
Tích vô hướng của 2 vector trên cực đại theo Bất đẳng thức hoán vị nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt {\displaystyle {\vec {y}}_{1}} và {\displaystyle {\vec {y}}_{2}} là các vector thu được từ {\displaystyle {\vec {y}}} chuyển tương ứng 1 và 2 vị trí, ta có:
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\geq {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}_{1}}{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\geq {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}_{2}}[sửa | sửa mã nguồn]
Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức Nesbitt.
bạn tìm theo đường link này nhé:
https://trungtuan.files.wordpress.com/2011/01/45-cach-chung-minh-bdt-nesbitt.pdf
C1: Biến đổi vế trái:
Thêm một bước biến đổi:
Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương)
Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:
Vế trái là trung bình cộng, vế phải là trung bình điều hoà, do vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng mính.
(Ta cũng có thể sử dụng trung bình nhân của ba biến để chứng minh).
c2:
Không mất tính tổng quát, giả sử 
Đặt:
{
Tích vô hướng của 2 vector trên cực đại theo Bất đẳng thức hoán vị nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt 
Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức Nesbitt.
Cách thứ nhất[sửa | sửa mã nguồn]
Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903)
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
Biến đổi vế trái:
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}.}
Thêm một bước biến đổi:
{\displaystyle [(a+b)+(a+c)+(b+c)]\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.}
Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương)
Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:
{\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.}
Vế trái là trung bình cộng, vế phải là trung bình điều hoà, do vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng mính.
(Ta cũng có thể sử dụng trung bình nhân của ba biến để chứng minh).
Bất đẳng thức Nesbitt :
\(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow P=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)\left(\frac{b}{c+a}+1\right)\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Bất đẳng thức này luôn đúng vì theo AM-GM
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
và:
\(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân theo vế 2 đẳng thức này ta được điều phải chứng minh
45 cách chứng minh BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT
https://123doc.org/document/1324739-45-cach-chung-minh-bat-dang-thuc-nesbitt.htm
Bạn vào đây xem 45 cách chứng minh bất đẳng thức NESBITT
