\(bđt< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+b^2\ge2ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh
Chắc CTV giải được đó
Thêm điều kiện a , b > 0
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
Vì \(a,b>0\Rightarrow ab>0;a+b>0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow ab+b^2+a^2+ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> Đpcm
Thêm đk a, b > 0
Ta có\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{a+b}=\frac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( đpcm )
nếu thêm đk a,b thực dương thì có cách này ngắn hơn :
Theo bđt AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có
\(LHS\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=RHS\left(Q.E.D\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
aM-GM cong mau?
Cách ..: Theo BĐT Arithme Means - Geometric Means: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
Cách ...: Áp dụng BĐT Arithme Means - Hamonic Means ta có: \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)
