Kẻ AM là tia phân giác của \(\hat{BAC}\) (\(M\in BC\)); lấy D, E lần lượt là hình chiếu của B, C lên AM.
Khi đó: \(\hat{BAD}=\hat{CAE}=\frac12\hat{BAC}\) (1)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại D có: \(\sin\hat{BAD}=\frac{BD}{AB}=\frac{BD}{c}\) (tỉ số lượng giác) (2)
Xét \(\Delta ACE\) vuông tại E có: \(\sin\hat{CAE}=\frac{CE}{AC}=\frac{CE}{b}\) (tỉ số lượng giác) (3)
Lại có: \(BD\le BM;CE\le CM\) (mối quan hệ đường vuông góc, đường xiên)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\sin^2\hat{BAE}=\frac{BD}{c}\cdot\frac{CE}{b}=\frac{BD\cdot CE}{bc}\)
\(\le\frac{BM\cdot CM}{bc}\le\frac{\frac{\left(BM+CM\right)^2}{4}}{bc}=\frac{BC^2}{4bc}=\frac{a^2}{4bc}\) (*)
\(\Rightarrow\sin\hat{BAD}\le\frac{a}{2\sqrt bc}=\frac{a\sqrt bc}{2bc}\)
hay \(\sin\frac{\hat{A}}{2}\le\frac{a\sqrt bc}{2bc}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\begin{cases}D,E\equiv M\\ BM=MC\end{cases}\) mà \(AM\) là tia phân giác \(\hat{BAC}\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\)
Tương tự, ta cũng có: \(\sin\frac{\hat{B}}{2}\le\frac{b\sqrt ac}{2ac}\)
Khi đó: \(\sin\frac{\hat{A}}{2}\cdot\sin\frac{\hat{B}}{2}\le\frac{a\sqrt bc}{2bc}\cdot\frac{b\sqrt ac}{2ac}=\frac{abc\sqrt ab}{4abc^2}=\frac{\sqrt ab}{4c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\) \(AB=BC=CA\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) đều (đpcm)
---
Giải thích (*): Bất đẳng thức Cauchy
Với a, b dương ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
\(\#Toru\)
