Question

chứng minh : 25n⁴  + 50n³ - n² - 2n chia hết cho 24 ( với mọi n\(\in\)N*)

Answer 1

ĐK : n∈Nn∈N. Gọi : A=n(n+1)(n+2)(n+3)A=n(n+1)(n+2)(n+3)

Với n = 1, ta có :

A=1.(1+1)(1+2)(1+3)=1.2.3.4=24⋮24A=1.(1+1)(1+2)(1+3)=1.2.3.4=24⋮24

Với n=k+1(k∈N∗)n=k+1(k∈N∗)

A=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)A=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

Đây là tích của 4 số tự nhiên tự nhiên liên tiếp nên có thể khẳng định rằng :

- 1 số ⋮2⋮2

- 1 số ⋮3⋮3

- 1 số ⋮4⋮4

mà (2,3,4)=1(2,3,4)=1

⇒n(n+1)(n+2)(n+3)⋮2.3.4=24⇒n(n+1)(n+2)(n+3)⋮2.3.4=24

Vậy n(n+1)(n+2)(n+3)⋮24n(n+1)(n+2)(n+3)⋮24 với mọi n∈N