Question

chứng ming rằng cới mọi số nguyên a thì:

a, a^3 - a chia hết cho 3

b, a^7 - a chia hết cho 7

 bài 2:chứng minh rằng: A=1^3+2^3+3^3+...+100^3chia hết cho B= 1+2+...+100

Answer 1

B1 a, a^3 - a = a.(a^2-1) = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3 

b, a^7-a = a.(a^6-1) = a.(a^3-1).(a^3+1)

Ta thấy số lập phương khi chia 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6

+Nếu a^3 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 1 thì a^3-1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 6 => a^3+1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

Vậy a^7-a chia hết cho 7

Answer 2

b,  a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

Answer 3

a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

b, với m lẻ từ hằng đẳng thức đáng nhớ ta có 
a^m+b^m=(a+b) {a^(m-1)-[a^(m-2)]b+...-a.[b^(m-2)]+b^(m... chia hết cho a+b 
 

Answer 4

a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

b, với m lẻ từ hằng đẳng thức đáng nhớ ta có 
a^m+b^m=(a+b) {a^(m-1)-[a^(m-2)]b+...-a.[b^(m-2)]+b^(m... chia hết cho a+b