Question

cho\(\Delta\)đều ABC từ 1 điểm M nằm trong tam giác kẻ MH,MK,ML vuông góc với cạnh AB,BC,AC và có độ dài lần lượt là x,y,z. Gọi h là độ dài đường cao tam giác đều

cmr \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}h^2\) 

Answer 1

Gọi a là độ dài cạnh của tam giác ABC

+ Ta có : \(S_{AMB}+S_{BMC}+S_{AMC}=S_{ABC}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\cdot x\cdot a+\frac{1}{2}\cdot y\cdot a+\frac{1}{2}\cdot z\cdot a=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}a\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}a\cdot h\)

\(\Rightarrow x+y+z=h\)             ( do \(\frac{1}{2}a\ne0\) )

+ \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}h^2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

<=> M là giao điểm 3 đg phân giác của tam giác ABC