\(VT=x^2+y^2+z^2+3-\frac{y^2\left(x^2+1\right)}{y^2+1}-\frac{z^2\left(y^2+1\right)}{z^2+1}-\frac{x^2\left(z^2+1\right)}{x^2+1}\)
\(\le x^2+y^2+z^2+3-\frac{y^2\left(x^2+1\right)+z^2\left(y^2+1\right)+x^2\left(z^2+1\right)}{2}\)
\(\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+3-\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{2}\)
\(\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+3\)
Mặt khác ta có: \(x^2+y^2+z^2=1-2\left(xy+yz+zx\right)\le1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{7}{2}\).Dấu "=" xảy ra tại \(\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị của nó
Với \(\hept{\begin{cases}x,y,z\ge0\\x+y+z=1\end{cases}}\), ta cần chứng minh: \(\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\le\frac{7}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\Sigma_{cyc}\left(x^2+1\right)^2\left(z^2+1\right)\le7\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\) \(\Leftrightarrow2\Sigma_{cyc}\left(x^4z^2+x^4+2x^2z^2+2x^2+z^2+1\right)\)\(\le7\left(x^2y^2z^2+x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\left(x^4z^2+y^4x^2+z^4y^2\right)\)\(\le7x^2y^2z^2+3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+x^2+y^2+z^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left[x^2+y^2+z^2+x+y+z-2\left(x^4+y^4+z^4\right)\right]\)\(+7x^2y^2z^2+3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)-2\left(x^4z^2+y^4x^2+z^4y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\text{}\Sigma_{cyc}x^2\left(1-x^2\right)+\Sigma_{cyc}x\left(1-x^3\right)+7x^2y^2z^2\)\(+\left(x^2z^2+y^2x^2+z^2y^2\right)+2\Sigma x^2z^2\left(1-x^2\right)\ge0\)
(Đúng do \(x,y,z\in\left[0;1\right]\))
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1;0;0\right)\)và các hoán vị
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Ttgfyhvggh hbhku uvjycfjyfuvgkkvhkjgvovyivyuykvkvutukvtuk t
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