Giả sử \(y\) nằm giữa \(x\) và \(z\)
\(\Rightarrow\left(y-z\right)\left(y-x\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow y^2+zx\le xy+zx\)
\(\Leftrightarrow y^2z+z^2x\le xyz+z^2x\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\le x^2y+xyz+z^2x=y.\left(x^2+zx+z^2\right)\)
Nên : \(P\le y.\left(x^2+zx+z^2\right)\le y.\left(x+z\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}.2y.\left(x+z\right).\left(x+z\right)\le\frac{1}{2}.\left[\frac{2y+x+z+x+z}{3}\right]^3\) \(=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{27}=\frac{4}{27}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0,y=\frac{1}{3},z=\frac{2}{3}\) và các hoán vị.
