Question

Cho x,y,z>0 và x+y+z=2. Tìm gtnn của A = \(\dfrac{y+z}{xyz}\)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$A=\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}$

$=\frac{4}{x(y+z)}=\frac{4}{x(2-x)}$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x(2-x)\leq \left(\frac{x+2-x}{2}\right)^2=1$

$\Rightarrow A\geq \frac{4}{1}=4$
Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=1; y=z=\frac{1}{2}$