Question

Cho x,y,z thỏa: 0 <= x,y,z <=2 và x + y + z = 3

CMR: \(x^3+y^3+z^3\le9\)

Answer 1

Giả sử z lớn nhất trong 3 số x,y,z suy ra x+y+z\(\le\)3z  => z\(\ge\)1

Kết hợp với điều kiện đề bài =>\(1\le z\le2\)

Ta có \(x^3+y^3\le\left(x+y\right)^3=\left(3-z\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\le\left(3-z\right)^3+z^3=27-27z+9z^2=9\left(z-1\right)\left(z-2\right)+9\)

Do \(1\le z\le2\)nên \(9\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi (x,y,z)=(0,1,2) và các hoán vị