\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
\(VT-VP=\Sigma\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{y^2}\ge0\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng :
\(\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{y^2+1}+\frac{z^4x}{z^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn \(x+y+z=3\). Chứng minh rằng: \(\frac{z^3}{z^2+x^2}+\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}\ge\frac{3}{2}\)
(Croatia 2004) Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{x}+3\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+3\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+3\sqrt{x}}\ge\frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + xz = 1. Chứng minh
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn x+y+z = 2018
Chứng minh \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}+\frac{y^3}{\left(x+z\right)^2}+\frac{z^3}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1009}{2}\)
Mong các bạn giải theo THCS nhé. Cảm ơn!
Cho x ,y ,z là các số nguyên dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng :
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x+y+z=2\)
Chứng minh \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge\frac{3}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
