Ta có
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\frac{4}{9}}{2xy}+\frac{\frac{4}{9}}{2yz}+\frac{\frac{4}{9}}{2zx}\right)+\frac{7}{9}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{9}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{9}.\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=9+\frac{7}{9}.27=30\)
Vậy GTNN là 30 đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Mình dùng cosi với cosi swat đó bạn. Có dùng cái nào khác đâu
Góp 1 cách cần tham khảo
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{3\cdot7}{\left(x+y+z\right)^2}=9+21=30\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
đáp án là 1/3
đáp án là 1/3
đáp án là 1/3
đáp án là 1/3
