Ta có biểu thức:
\(Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)
\(=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)+\left(y+1\right)\left(1-\frac{z^2}{z^2+1}\right)+\left(z+1\right)\left(1-\frac{x^2}{x^2+1}\right)\)
\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y}{2}\right)+\left(y+1\right)\left(1-\frac{z}{2}\right)+\left(z+1\right)\left(1-\frac{x}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow Q\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)
\(\Leftrightarrow Q\ge6-\frac{xy+yz+xz+3}{2}\)
Mà \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow Q\ge6-\frac{3+3}{2}=3\)
Vậy Min Q=3. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Sorry, mình không biết nhé. Nhưng có thể kết bạn mà . hình như là anh hay chị tại vì mình mới lớp 4 thôi à. Kết bạn anh[ chị] nhé.
\(Q=\)như trên\(=\left(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\right)=M+N\)
xét \(M=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2},\)áp dụng Cô si ta có
\(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\\\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\end{cases}}\)
suy ra
\(M=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\ge x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}=3-\frac{xy+yz+zx}{2}\)
lại có
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=3-\frac{xy+yz+zx}{2}\)
suy ra \(M\ge3-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
dáu "=" xảy ra khi x=y=z=1
xét \(N=\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{x^2}\)ta có
\(3-N=\left(1-\frac{1}{1+y^2}\right)+\left(1-\frac{1}{1+z^2}\right)+\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\)
=\(\frac{y^2}{1+y^2}+\frac{z^2}{1+z^2}+\frac{x^2}{1+x^2}\le\frac{y^2}{2y}+\frac{z^2}{2z}+\frac{x^2}{2x}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\)
suy ra \(N\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi x=y=z=1
từ đó suy ra \(Q\ge3khi\left(x=y=z=1\right)\)
zậy \(Q_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Trl :
Bạn kia làm đúng rồi nhé !
Học tốt nhé bạn @
CHỊU NHÉ. EM MỚI LỚP 4 NÊN KO BIẾT. HIHI
