Question

cho :   x,y,z  \(\ge\)0          và x + y + z \(\le\)3

 chứng minh :  \(\frac{x}{^{x^2+1}}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+z}\le\frac{3}{2}\le\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)

Answer 1

Bất đẳng thứ côsi hả bạn

Answer 2

Mình sửa lại đề nhé:

\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\le\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)

Dễ dàng chứng minh được: \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\frac{x}{x^2+1}\le\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)

Tương tự, ta cũng có: \(\frac{y}{y^2+1}\le\frac{1}{2};\frac{z}{z^2+1}\le\frac{1}{2}\)

Cộng từng vế của 3 BĐT trên ta được ĐPCM.

Ta chứng minh BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)

BĐT này đúng với \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\), ta được:

\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 3

(*)Vế đầu :

có x^2+1 >/ 2x =>x/(x^2+1) </ x/2x=1/2, tương tự và cộng lại ta đc sigma x/(x^2+1) </ 3/2

 (*)Vế sau:

Dễ dàng cm bđt 1/x+1/y+1/z >/ 9/(x+y+z) bằng bđt AM-GM 

Ta có sigma 1/(1+x) >/ 9/(x+y+z)+3 >/ 9/3+3 >/ 9/6=3/2