Question

Cho x,y,z dương thõa mãn x+y+z =3 

Chứng minh rằng \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}>=\frac{3}{2}\)

Answer 1

\(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\right)\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu ''='' chỉ xảy ra khi x=y=z=1

Để mình nghiên cứu giải cách khác

Answer 2

Mình giải áp dụng theo BĐT Nesbit (3 phần tử giống với đề bài )

Mình chứng minh theo Nesbit :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge6\)