Ta có :
M = x3 + y3 = ( x + y ) ( x2 - xy + y2 ) = x2 + y2 - xy = ( x2 + 2xy + y2 ) - 3xy
= 1 - 3xy
Mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)\(\Rightarrow3xy\le\frac{3.\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{3}{4}\)\(\Rightarrow-3xy\ge-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow M=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = 0,5
Sửa đề là tìm min nhé! :) Em có một cách khác,khác với cách mà mọi người hay làm như sau:
Với mọi số thực k không âm,ta luôn có: \(\left(x+k\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(x+k\right)\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2+\frac{1}{4}x+kx^2-kx+\frac{1}{4}k\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3+\left(k-1\right)x^2-\left(k-\frac{1}{4}\right)x+\frac{1}{4}k\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\ge-\left(k-1\right)x^2+\left(k-\frac{1}{4}\right)x-\frac{1}{4}k\)
Chọn k = 1 ta được: \(x^3\ge\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\).Tương tự với y ta được: \(y^3\ge\frac{3}{4}y-\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên,ta được: \(M=x^3+y^3\ge\frac{3}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy...
